Patřil k významným českým botanikům a muzeologům. Zabýval se fytopaleontologií a lichenologií (nauka o lišejnících). Byl ředitelem botanického oddělení Národního muzea v Praze. Jeho bratrem byl významný lékař MUDr. Karel Bayer.
Po ukončení chotěbořské základní školy absolvoval gymnázium v Praze, kde po maturitě začal studovat práva. Po dvou letech však přestoupil na filozofickou fakultu české univerzity, kde absolvoval studium přírodních věd. Doktorem filozofie se stal po promoci 4. května 1891. Byl spolupracovníkem a žákem univerzitního profesora Dr. Antonína Friče a univerzitního profesora Dr. Ladislava Čelakovského.
Publikoval v odborných časopisech, jako například Vesmír, Věstník Královské české společnosti nauk, Časopis Národního muzea. Od roku 1894 přispíval do Ottova slovníku naučného, pod značkou "EBR". Jako první zavedl u nás metodu studia fosilních kutikul. Zabýval se též výzkumem svrchnokřídové flóry.
Bayerova vědecká práce, patří k prvním pokusům o zachycení lichenologického snažení na našem území. Ve svých pracích shrnul počátky lichenologického výzkumu v období od konce 18. století do 20. let 20. století. Z němčiny překládal odborné články chotěbořského lékaře Josefa Mühlbacha o rzích, které publikoval v časopisu Vesmír.

Lásku k přírodě a zvláště k mechům a lišejníkům získal od svého otce Karla Bayera a také od svého staršího bratra Karla, kterým se podařilo objevit v údolí řeky Doubravy (Chotěbořsko) dvě vzácné řasy.